Udostępnij w społeczności. sieci:


Elektron w studni potencjału. Rozważmy elektron znajdujący się w tak zwanym "potencjale studni"




Rozważmy elektron znajdujący się w tak zwanym " potencjale studni ". Rozumie się przez to, że w przedziale 0 <x < a (wewnątrz dołu lub, jak czasem też mówią, pudła ), energia potencjalna energii elektronowej jest stała i skończona, na przykład wynosi zero ( U (x) = 0 ), a poza tym segmentem x <0 i x> a i na jego granicach przy x = 0 i x = a, energia potencjalna idzie w nieskończoność.

W opisanych warunkach jednowymiarowe stacjonarne równanie Schrödingera (16) można zapisać jako

Ponieważ energia potencjalna jest równa zeru, całkowita energia E w tym równaniu jest równa energii kinetycznej cząstki (elektronu).

Oczywiście częściowa prywatna symbolika jest tutaj zbyteczna, ale niczego nie zmienimy, pamiętajcie tylko o tym zależy tylko od jednej zmiennej - x .

Zmień mnożnik wcześniej -funkcja:

(27)

Wtedy dostaniemy

(28)

Tutaj - Nic poza długością fali de Broglie dla elektronu.

Rozwiązania równania (28) będą

1) (29)
2) (30)

Warunkiem jest, że cząstka nie może znajdować się poza polem, więc jej funkcja falowa w granicach pola dla x = 0 i x = a wynosi zero, tj. ( 0 ) = 0 i ( a ) = 0.

Zgodnie z tymi warunkami brzegowymi przy x = 0, z (30) wynika to = In . Oznacza to, że długość fali może być dowolny, ponieważ dla x = a powinno być = 0. Dlatego

, (31)

tutaj, n = 1, 2, 3, ...

Dlatego

(32)

Biorąc pod uwagę (32) z (29) mamy (33)

Wykorzystanie warunku normalizacji (26) dla -funkcje formularza (33) można zapisać (integracja warunku pola potencjału wynosi od 0 do a )

Określanie wartości stałej dostać
rodzaj funkcji falowej dla cząstki w nieskończenie głębokim polu prostokątnym

(34)

Teraz, znając postać funkcji falowej, można już analizować zachowanie cząstki wewnątrz pudełka.

Rysunek 6 ( a ) na podstawie wzoru (34) pokazuje wykresy funkcji n ( x ), a na rys. 6 ( b ) wykresy gęstości prawdopodobieństwa | n ( x ) | 2 wykrywanie cząstek wewnątrz pudełka dla trzech wartości liczby kwantowej n.

a) b)
Ryc. 6

Z fig. 6 (b) wynika, że ​​na przykład, gdy liczba kwantowa wynosi n = 2, cząstka może być równie prawdopodobna w pobliżu ścian skrzynki, ale prawdopodobieństwo jej wykrycia w jej środku wynosi zero.

Takie zachowanie cząstki sugeruje, że pojęcie współrzędnej, a tym samym trajektorii cząstki, nie istnieje w mechanice kwantowej.