Jak zbadać funkcję ciągłości?




Badanie funkcji ciągłości w punkcie odbywa się zgodnie z już zwiniętym schematem rutynowym, który polega na przetestowaniu trzech warunków ciągłości:

Przykład 1

Zbadaj funkcję na ciągłość. Określ naturę podziałów funkcji, jeśli istnieją. Wykonaj rysunek.

Rozwiązanie :

1) Jeden punkt trafia w cel. w którym funkcja nie jest zdefiniowana.

2) Oblicz jednostronne granice:

Limity jednostronne są skończone i równe.

W tym momencie funkcja toleruje usuwalną szczelinę.

Jak wygląda wykres tej funkcji?

Chcę uprościć , i wydaje się, że to zwykła parabola. ALE funkcja źródła nie jest zdefiniowana w w związku z tym następująca rezerwacja jest obowiązkowa:

Uzupełnimy rysunek:

Odpowiedź : funkcja jest ciągła na całej linii cyfrowej z wyjątkiem punktu. w którym toleruje usuwalną lukę.

Funkcję można zdefiniować w dobry lub niezbyt dobry sposób, ale pod warunkiem, że nie jest ona wymagana.

Mówisz, przykład jest wymyślony? Wcale nie. Dziesiątki razy spotyka się w praktyce. Prawie wszystkie zadania strony pochodzą z prawdziwych niezależnych i kontrolnych prac.

Udostępniaj swoje ulubione moduły:

Przykład 2

Zbadaj funkcję na ciągłość. Określ naturę podziałów funkcji, jeśli istnieją. Wykonaj rysunek.

Rozwiązanie : z jakiegoś powodu uczniowie boją się i nie lubią funkcji z modułem, chociaż nie ma w nich nic trudnego. Poruszaliśmy już takie rzeczy nieco w trakcie lekcji Geometryczne transformacje wykresów . Ponieważ moduł jest nieujemny, ujawnia się go w następujący sposób: gdzie alfa jest wyrażeniem. W tym przypadku , a nasza funkcja powinna logować się w następujący sposób:

Ale ułamki obu części należy zredukować o . Redukcja, jak w poprzednim przykładzie, nie będzie działać bez konsekwencji. Funkcja źródła nie została zdefiniowana w punkcie ponieważ mianownik idzie do zera. Dlatego system powinien dodatkowo określić warunek i pierwsza nierówność uczynić ścisłym:

Teraz o BARDZO PRZYDATNE rozwiązanie : przed zakończeniem zadania na przeciąg, korzystne jest, aby zrobić rysunek (niezależnie od tego, czy jest to wymagane przez stan, czy nie). Pomoże to, po pierwsze, od razu zobaczyć punkty ciągłości i punkty nieciągłości, a po drugie, w 100% zaoszczędzi ci błędów przy znajdowaniu jednostronnych limitów.

Wykonaj rysunek. Zgodnie z naszymi obliczeniami, na lewo od punktu konieczne jest narysowanie fragmentu paraboli (kolor niebieski), a po prawej - kawałek paraboli (kolor czerwony), funkcja nie jest zdefiniowana w samym punkcie :

W razie wątpliwości, weź kilka wartości X, zamień je na funkcję (nie zapominając, że moduł niszczy możliwy znak minus) i sprawdza harmonogram.


border=0


Badamy funkcję ciągłości analitycznie:

1) Funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie dlatego możemy od razu powiedzieć, że nie ma w nim ciągłości.

2) Ustaw charakter luki, dla tego obliczamy jednostronne limity:

Jednostronne granice są skończone i różne, co oznacza, że ​​funkcja cierpi na nieciągłość pierwszego rodzaju z przeskokiem w punkcie . Należy pamiętać, że nie ma znaczenia, czy funkcja jest zdefiniowana w punkcie przerwania, czy nie.

Pozostaje teraz przenieść projekt z wersji roboczej (wykonano go tak, jakby wykorzystywać badania ;-)) i wykonać zadanie:

Odpowiedź : funkcja jest ciągła na całej linii cyfrowej z wyjątkiem punktu. w którym cierpi z powodu pierwszego skoku.

Czasami wymagane jest dodatkowo wskazanie skoku nieciągłości. Jest obliczany elementarnie - lewy limit musi zostać odjęty od prawego limitu: , to znaczy w punkcie nieciągłości nasza funkcja podskoczyła o 2 jednostki w dół (co mówi nam minus).

Przykład 3

Zbadaj funkcję na ciągłość. Określ naturę podziałów funkcji, jeśli istnieją. Zrób rysunek.

Jest to przykład niezależnej decyzji, przykładowego rozwiązania na końcu lekcji.

Przejdźmy do najpopularniejszej i najczęstszej wersji zadania, gdy funkcja składa się z trzech części:

Przykład 4

Sprawdź funkcję ciągłości i wykreśl funkcję

.

Rozwiązanie : jest oczywiste, że wszystkie trzy części funkcji są ciągłe w odpowiednich odstępach czasu, więc pozostaje tylko sprawdzenie tylko dwóch punktów "połączenia" między częściami. Najpierw wykonamy projekt szkicu, szczegółowo opisałem technikę budowy w pierwszej części artykułu. Trzeba tylko uważnie śledzić nasze szczególne punkty: z powodu nierówności znaczenie posiadane przez proste (zielona kropka) oraz z powodu nierówności znaczenie należy do paraboli (czerwona kropka):

Cóż, w zasadzie wszystko jest jasne =) Pozostaje wydać decyzję. Dla każdego z dwóch punktów "tyłek" rutynowo sprawdzamy 3 warunki ciągłości:



I) Badamy punkt ciągłości.

1) - funkcja jest zdefiniowana w tym punkcie.

2) Znajdź jednostronne ograniczenia:


Granice jednostronne są skończone i różne, więc funkcja doznaje luki pierwszego rodzaju, przeskakując w punkcie .

Obliczmy skok nieciągłości jako różnicę między prawą i lewą granicą:
to znaczy, że harmonogram przesunął się o jedną jednostkę.

II) Badamy punkt ciągłości.

1) - funkcja jest zdefiniowana w tym punkcie.

2) Znajdź jednostronne ograniczenia:

- jednostronne granice są skończone i równe, co oznacza, że ​​istnieje wspólny limit.

3) - granica funkcji w punkcie jest równa wartości danej funkcji w danym punkcie.

Tak więc funkcja ciągłe w punkcie z definicji ciągłość funkcji w punkcie.

Na ostatnim etapie przenosimy rysunek do czystej kopii, po czym kładziemy końcowy akord:

Odpowiedź : funkcja jest ciągła na całej linii liczbowej, z wyjątkiem punktu. w którym cierpi z powodu pierwszego skoku.

Zrobione.

Przykład 5

Sprawdź funkcję ciągłości i narysuj ją .

Jest to przykład niezależnego rozwiązania, krótkiego rozwiązania i przykładowej próbki zadania pod koniec lekcji.

Można odnieść wrażenie, że w pewnym momencie funkcja musi koniecznie być ciągła, aw innym miejscu musi istnieć luka. W praktyce nie zawsze tak jest. Staraj się nie zaniedbać pozostałych przykładów - pojawią się ciekawe i ważne elementy:

Przykład 6

Funkcja Dana . Zbadaj funkcję ciągłości punktów . Zbuduj wykres.

Rozwiązanie : i ponownie natychmiast wykonaj wersję roboczą wersji roboczej:

Osobliwością tego wykresu jest to, że z funkcja odcinkowa jest określona przez równanie osi odciętych . Tutaj ta sekcja jest zaznaczona na zielono, a w zeszycie jest zwykle odważnie izolowana prostym ołówkiem. I, oczywiście, nie zapomnij o naszych owcach: o wartości odnosi się do gałęzi stycznej (czerwona kropka) i wartości posiadane przez proste .

Z rysunku wszystko jest jasne - funkcja jest ciągła na całej linii liczbowej, pozostaje stworzyć rozwiązanie, które dosłownie zostanie doprowadzone do pełnego automatyzmu po 3-4 podobnych przykładach:

I) Badamy punkt ciągłości.

1) - funkcja jest zdefiniowana w tym punkcie.

2) Oblicz jednostronne granice:

oznacza to, że istnieje ogólny limit.

Było tu trochę śmiesznie. Faktem jest, że stworzyłem wiele materiałów o ograniczeniach funkcji i kilka razy chciałem, ale kilka razy zapomniałem o jednym prostym pytaniu. I tak, dzięki niesamowitemu wysiłkowi woli, wciąż zmusił się, aby nie stracić myśli =) Najprawdopodobniej niektórzy czytelnicy "czajników" wątpią: na czym polega granica stałej równej? Limit stałej jest równy stałej. W tym przypadku granica zera wynosi sama zero (ograniczenie po stronie lewej).

Idąc dalej:

3) - granica funkcji w punkcie jest równa wartości danej funkcji w danym punkcie.

Tak więc funkcja ciągłe w punkcie z definicji ciągłość funkcji w punkcie.

II) Badamy punkt ciągłości.

1) - funkcja jest zdefiniowana w tym punkcie.

2) Znajdź jednostronne ograniczenia:

I tutaj, w prawej granicy - limit jednostki jest równy samej jednostce.

- istnieje ogólny limit.

3) - granica funkcji w punkcie jest równa wartości danej funkcji w danym punkcie.

Tak więc funkcja ciągłe w punkcie z definicji ciągłość funkcji w punkcie.

Jak zwykle po badaniach przenosimy nasz rysunek do czystej kopii.

Odpowiedź : funkcja jest ciągła w punktach. .

Należy pamiętać, że w tym stanie nie pytano nas o badanie całej funkcji ciągłości i uważa się, że jest to dobry matematyczny sygnał do sformułowania dokładnej i jasnej odpowiedzi na postawione pytanie. Nawiasem mówiąc, jeśli pod warunkiem, że nie musisz budować harmonogramu, to masz pełne prawo go nie budować (chociaż nauczyciel może to zrobić).

Mały matematyczny "tupot" dla niezależnego rozwiązania:

Przykład 7

Funkcja Dana .

Zbadaj funkcję ciągłości punktów . Kategoryzuj punkty przerwania, jeśli takie istnieją. Wykonaj rysunek.

Staraj się poprawnie "wymawiać" wszystkie "słowa" =) I aby dokładniej narysować wykres, dokładność, nie wszędzie będzie zbędna ;-)

Jak pamiętacie, poleciłem natychmiast wykonać rysunek na szkicu, ale od czasu do czasu pojawiają się takie przykłady, w których nie od razu widać, jak wygląda harmonogram. Dlatego w niektórych przypadkach korzystne jest najpierw znaleźć jednostronne granice, a dopiero potem na podstawie badania, aby zobrazować gałęzie. W dwóch końcowych przykładach opanujemy również technikę obliczania niektórych jednostronnych ograniczeń:

Przykład 8

Zbadaj funkcję ciągłości i zbuduj swój schemat.

Rozwiązanie : złe punkty są oczywiste: (zamienia na zero mianownik wskaźnika) i (zamienia na zero mianownik całej frakcji). Trudno zrozumieć, jak wygląda wykres tej funkcji, co oznacza, że ​​lepiej najpierw przeprowadzić badanie:

I) Badamy punkt ciągłości.

1) Funkcja nie jest zdefiniowana w tym momencie.

2) Znajdź jednostronne ograniczenia:

Zwróć uwagę na typową metodę obliczania jednostronnego limitu : zastępujemy funkcję zamiast "X" . W mianowniku każdego przestępstwa: "dodatek", "minus zero" nie ma znaczenia, a okazuje się "cztery". Ale w liczniku jest mały thriller: najpierw w mianowniku wskaźnika zabij -1 i 1, powodując . Jednostka podzielona przez nieskończenie małą liczbę ujemną jest "minus nieskończoność", dlatego: . I wreszcie, "dwa" w nieskończenie dużym ujemnym stopniu wynosi zero: . Lub, jeśli więcej szczegółów: .

Obliczyć prawy limit:

I tutaj - zamiast "X" zamiennik . W mianowniku "dodatek" znowu nie ma znaczenia: . W liczniku wykonywane są działania podobne do poprzedniego limitu: niszczymy przeciwne liczby i dzielimy jednostkę przez nieskończenie małą liczbę dodatnią :

Prawa granica jest nieskończona, więc funkcja cierpi na nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie .

II) Badamy punkt ciągłości.

1) Funkcja nie jest zdefiniowana w tym momencie.

2) Oblicz lewostronny limit:

Metoda jest taka sama: zamień w funkcję zamiast "X" . W liczniku nie ma nic ciekawego - uzyskujemy skończoną liczbę dodatnią . W mianowniku otwieramy nawiasy, usuwamy "trójkę", a "dodatek" odgrywa kluczową rolę. .

W rezultacie skończona liczba dodatnia podzielona przez nieskończenie małą liczbę dodatnią daje "plus nieskończoność": .

Prawa granica jest jak brat bliźniak, z jedynym wyjątkiem, że nieskończenie mała liczba ujemna unosi się w mianowniku:

Granice jednostronne są nieskończone, więc funkcja cierpi na nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie .

Mamy więc dwa punkty przerwania i, oczywiście, trzy gałęzie wykresu. Dla każdej gałęzi wskazane jest wykonanie konstrukcji punktowej, tj. weź kilka wartości X i zamień je na . чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Należy zauważyć, że warunek pozwala na budowę schematu rysunku, a taki relaks jest naturalny dla pracy ręcznej. Buduję grafikę za pomocą programu, więc nie mam takich trudności, tutaj jest dość dokładny obraz:

Proste linie pionowymi asymptotami dla wykresu tej funkcji.

Odpowiedź : funkcja jest ciągła na całej linii cyfrowej z wyjątkiem punktów. w którym toleruje nieciągłości drugiego rodzaju.

Prostsza funkcja do samodzielnej decyzji:

Przykład 9

Zbadaj funkcję ciągłości i wykonaj schematyczny rysunek.

Przybliżony roztwór próbki na końcu, który wkradł się niezauważony.

Do zobaczenia wkrótce!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 3: Rozwiązanie : przekonwertuj funkcję: . Biorąc pod uwagę zasadę modułu ujawnień i fakt, że , przepisujemy funkcję w postaci kawałkowej:

Badamy funkcję ciągłości.

1) Funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie .

2) Oblicz jednostronne granice:


Jednostronne granice są skończone i różne, co oznacza, że ​​funkcja cierpi na nieciągłość pierwszego rodzaju z przeskokiem w punkcie . Uzupełnimy rysunek:

Odpowiedź : funkcja jest ciągła na całej linii cyfrowej z wyjątkiem punktu. w którym cierpi z powodu pierwszego skoku. Skok luki: (dwie jednostki w górę).

Przykład 5: Rozwiązanie : każda z trzech części funkcji jest ciągła w swoim własnym przedziale czasowym.
I) Badamy punkt ciągłości.
1) - funkcja jest zdefiniowana w tym punkcie.

2) Oblicz jednostronne granice:


oznacza to, że istnieje ogólny limit.
3) - granica funkcji w punkcie jest równa wartości danej funkcji w danym punkcie.
Tak więc funkcja ciągłe w punkcie z definicji ciągłość funkcji w punkcie.
II) Badamy punkt ciągłości.

1) - funkcja jest zdefiniowana w tym punkcie.

2) Znajdź jednostronne ograniczenia:


Granice jednostronne są skończone i różne, więc funkcja doznaje luki pierwszego rodzaju, przeskakując w punkcie .
Skok luki: (pięć jednostek w dół).
Rysunek znajduje się w pierwszej części artykułu.
Odpowiedź : funkcja jest ciągła na całej linii liczbowej, z wyjątkiem punktu. w którym cierpi z powodu pierwszego skoku.

Przykład 7: Rozwiązanie :

I) Badamy punkt ciągłości.

1) - funkcja jest zdefiniowana w tym punkcie.

2) Znajdź jednostronne ograniczenia:


Limit lewej strony jest nieskończony, więc funkcja cierpi na nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie .
II) Badamy punkt ciągłości.

1) - funkcja jest zdefiniowana w tym punkcie.

2) Znajdź jednostronne ograniczenia:


Granice jednostronne są skończone i różne, więc funkcja doznaje luki pierwszego rodzaju, przeskakując w punkcie .
Uzupełnimy rysunek:

Odpowiedź : W punkcie funkcja ma lukę drugiego rodzaju w punkcie funkcja cierpi na nieciągłość pierwszego rodzaju ze skokiem.

Przykład 9: Rozwiązanie : zbadaj punkt ciągłości :

1) Funkcja nie jest zdefiniowana w tym momencie.

2) Oblicz jednostronne granice:


Limit lewej strony jest nieskończony, więc funkcja cierpi na nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie .
Uzupełnimy rysunek:

Odpowiedź : funkcja jest ciągła na całej linii cyfrowej z wyjątkiem punktu. w którym cierpi na lukę drugiego rodzaju.

Autor: Emelin Alexander

Wyższa matematyka dla studentów zewnętrznych i nie tylko >>>

(Przejdź do strony głównej)

Jak mogę podziękować autorowi?

Jak znaleźć domenę funkcji?

Przykłady rozwiązań

Jeśli gdzieś nie ma czegoś, to gdzieś jest coś

Nadal badamy sekcję "Funkcje i grafika", a następną stacją naszej podróży jest Domena Definicji Funkcji . Aktywna dyskusja nad tą koncepcją rozpoczęła się już na pierwszej lekcji o działkach funkcyjnych , w których brałem pod uwagę funkcje elementarne, a zwłaszcza ich domeny definicji. Dlatego polecam czajniki, aby zacząć od podstaw tematu, ponieważ nie będę więcej rozpisywał się na kilku podstawowych punktach.

Zakłada się, że czytelnik zna obszary definicji podstawowych funkcji: liniowych, kwadratowych, sześciennych, wielomianowych, wykładniczych, logarytmicznych, sinusowych, cosinusowych. Są one zdefiniowane na . W przypadku stycznych, arcsines, niech tak będzie, wybaczenie =) Bardziej rzadkie wykresy nie są natychmiast zapamiętywane.

Dziedzina definicji jest pozornie prosta i powstaje naturalne pytanie, o czym będzie ten artykuł? Podczas tej lekcji rozważę typowe zadania związane z odnalezieniem domeny funkcji. Ponadto powtórzymy nierówności z jedną zmienną , umiejętnościami rozwiązywania, które będą wymagane w innych problemach matematyki wyższej. Materiał, nawiasem mówiąc, jest szkołą, więc przyda się nie tylko studentom, ale także studentom. Informacja oczywiście nie pretenduje do encyklopedii, ale tu nie ma daleko naciąganych "martwych" przykładów, ale pieczonych kasztanów, które pochodzą z prawdziwych praktycznych prac.

Zacznijmy od wyraźnego cięcia w temacie. Krótko o głównej rzeczy: mówimy o funkcji jednej zmiennej . Jego domeną jest zestaw wartości "X", dla których istnieją wartości "graczy". Rozważmy przykład warunkowy:

Dziedziną tej funkcji jest połączenie przestrzeni:
(dla tych, którzy zapomnieli: - ikona scalania). Innymi słowy, jeśli weźmiesz wartość "X" z przedziału lub z lub z , wtedy dla każdego takiego "X" będzie wartość "gier".

Z grubsza rzecz biorąc, tam, gdzie jest domena - znajduje się wykres funkcji. Ale pół-przerwa a punkt "tse" nie jest zawarty w domenie definicji, więc grafiki nie ma.

Tak, przy okazji, jeśli coś nie wynika z terminologii i / lub treści pierwszych akapitów, lepiej wrócić do artykułu Wykresy i właściwości podstawowych funkcji .

Jak znaleźć domenę funkcji? Wiele osób pamięta liczenie dzieci: "kamień, nożyczki, papier" iw tym przypadku można je łatwo zmienić: "root, frakcja i logarytm". Tak więc, jeśli napotkasz ułamek, korzeń lub logarytm w swoim życiu, powinieneś natychmiast bardzo, bardzo ostrożnie! Znacznie mniej powszechne są styczne, cotangensowe, arcsine, arccosine, a my też o nich porozmawiamy. Ale najpierw szkice z życia mrówek:





; Data dodania: 2015-07-21 ; ; Liczba wyświetleń: 43973 ; Czy opublikowany materiał narusza prawa autorskie? | | Ochrona danych osobowych ZAMÓW pracę


Nie znalazłeś tego, czego szukałeś? Użyj wyszukiwania:

Najlepsze powiedzonka: Student jest osobą, która stale odkłada nieuchronność ... 9196 - | 6560 - lub przeczytaj wszystkie ...

Zobacz także:

border=0
2019 @ edudoc.icu

Генерация страницы за: 0.02 сек.