Udostępnij w społeczności. sieci:


ZWIĄZANE Z NIMI KOMPONENTOWE LICZBY I AKCJE




Treść

§1. ZWIĄZANE Z NIMI KOMPONENTOWE LICZBY I AKCJE
§2 SEKWENCJA KOMPLEKSOWYCH LICZB Z SERAMI ZE ZŁOŻONYMI ZESPOŁAMI
§3. FUNKCJE ZMIESZANIA KOMPLEKSOWEGO
§4 OGRANICZENIE FUNKCJI ZMIENNEJ ZGODNEJ. CIĄGŁOŚĆ
§5. ZRÓŻNICOWANIE FUNKCJI ZRÓŻNICOWANEGO WARUNKU COSHI-RIMAN
§6 INTEGRAL Z FUNKCJI ZMIENNEJ KOMPLEKSOWO
§7. Zintegrowane twierdzenie Cauchy'ego. Formuła Cauchy
§8. JEDNOLITA KONWERGENCJA TEORII FUNKCJONALNEJ ABELA
§9. ZAKRES TAYLORA FUNKCJI ANALITYCZNEJ
§10. SERIA LORAN IZOLOWANE PUNKTY SPECJALNE
§11. ODSTĘPSTWA PODSTAWOWY WYMAGAŃ TEOREM.
§12. OBLICZANIE OKREŚLONYCH INTEGRALI POPRZEZ POTRĄCENIA
LITERATURA

ZWIĄZANE Z NIMI KOMPONENTOWE LICZBY I AKCJE

Nawet najprostsze operacje algebraiczne na liczbach rzeczywistych (wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, rozwiązywanie równania kwadratowego z ujemnym wyróżnikiem) powodują, że przekracza on granice zbioru liczb rzeczywistych. Dalsze uogólnienie pojęcia liczby prowadzi do liczb zespolonych. Niezwykłą właściwością zestawu liczb zespolonych jest jego bliskość w odniesieniu do podstawowych operacji matematycznych. Innymi słowy, podstawowe operacje matematyczne na liczbach zespolonych nie pochodzą od zbioru liczb zespolonych.

Liczba zespolona ( w postaci algebraicznej ) jest wyrażeniem

gdzie - dowolne liczby rzeczywiste, - wyobrażona jednostka określona przez warunek .

Liczba nazywana rzeczywistą częścią liczby zespolonej oznaczony przez (z łac. " realis "), liczba nazywana wyimaginowaną częścią liczby zespolonej i jest oznaczony przez (z łacińskiego " imaginarius ").

Dwie liczby zespolone i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich rzeczywiste i urojone części są równe: , . Dwie liczby zespolone są równe lub nie równe (pojęcia "więcej" i "mniej" dla liczb zespolonych nie są wprowadzane).

Kompleks sprzężony z liczbą zwany numerem . Oczywiście kompleks - liczba sprzężona do pasuje do numeru : .

Operacje arytmetyczne. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych odbywa się zgodnie ze zwykłymi zasadami algebry.

Pozwól , . Następnie

suma ,

różnica ,

praca ,

iloraz (z )

Przykład 1 Ustaw liczby zespolone , .

Aby znaleźć , , .

Decyzja . ;

;

.

Zadanie 1 . Pozwól i - para złożonych liczb sprzężonych. Pokaż, że ich suma jest liczbą rzeczywistą, różnica jest liczbą urojoną, a iloczyn jest liczbą nieujemną.




Przykład 2 Aby znaleźć , .

Decyzja . ; .

,

Uwaga Stopnie liczby może być reprezentowany jako tabela

Przykład 3. Pomnóż liczby i .

Decyzja .

Przykład 4. Oblicz a) ; b) ; c) .

Decyzja .

a) Otwórz kwadrat różnicy:

.

b) Otwórz kostkę sumy:

.

c) Zgodnie z dwumianem Newtona :

.

Można to uznać za: .

Przykład 5. Znajdź prywatne jeśli .

Decyzja .

.

Przykład 6. Oblicz a) , b) .

Decyzja . a) .

b) .

Pamiętaj:

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.

Rozważmy prostokątny prostokątny układ kartezjański. Umieść rzeczywistą część na osi odciętych liczba zespolona , a na osi Y - jej wyobrażona część . Uzyskaj punkt o współrzędnych . Ponadto każda liczba zespolona odpowiada jednemu punktowi samolotu. Jest odwrotnie: każdy punkt płaszczyznom można przypisać liczbę zespoloną którego prawdziwą częścią jest równy punktowi odcięcia i części urojonej równy punktowi rzędnych. Zatem między liczbami zespolonymi i punktami płaszczyzny ustalana jest relacja jeden-do-jednego. (Wcześniej mówiliśmy o relacji jeden do jednego między liczbami rzeczywistymi a punktami linii numerycznej).

Płaszczyzna, której punkty reprezentują liczby zespolone, nazywana jest płaszczyzną złożoną . Aby odróżnić go od prawdziwego samolotu w prawym górnym rogu, napisz literę krążyły. Oś odcięcia na takiej płaszczyźnie nazywana jest osią rzeczywistą, a oś rzędna nazywana jest osią urojoną. Złożona liczba sprzężona jest lustrzanym odbiciem danej liczby zespolonej wokół rzeczywistej osi. Początek nazywany jest punktem zerowym. Odległość liczby zespolonej od początku współrzędnych nazywana jest modułem tej liczby:



.

Problem 2. Udowodnij, że .

Moduł różnicy dwóch liczb zespolonych jest odległością pomiędzy odpowiednimi punktami:

.

Do każdego punktu złożonej płaszczyzny wiążemy wektor z początkiem w punkcie zerowym i końcem w tym punkcie. Oczywiście, ta korespondencja jest jeden do jednego. W tej interpretacji rzeczywiste i urojone części liczby zespolonej są pierwszymi i drugimi składowymi wektora. Kwota jest teraz reprezentowany przez przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach i różnica rozumiane jako . Moduł liczby zespolonej jest długością wektora. Geometrycznie oczywista jest nierówność trójkąta na płaszczyźnie złożonej: .

Przykład 7. Określ locus punktów na złożonej płaszczyźnie, dla której

a) ; b) ;
c) ; d) .

Decyzja . a) Od wtedy podana podwójna nierówność może zostać przepisana w formie: . Mam pionowy pasek.

b) Od następnie przepisać podaną podwójną nierówność w formularzu: . Mam poziomy pasek. Zadania c) i d) rozwiązywać samodzielnie.

Przykład 8. Określ locus punktów na złożonej płaszczyźnie, dla których a) ; b) ; c) .

Decyzja . a) Moduł liczby zespolonej Czy długość wektora idzie od punktu zero do punktu tj. odległość od początku do punktu . Tak więc w przypadku mówimy o geometrycznym położeniu punktów na płaszczyźnie równoodległej od punktu początkowego - to jest okrąg (w tym przypadku promień okręgu to 1). Możliwe było przetłumaczenie problemu na język kartezjańskich współrzędnych:

.

b) Tutaj mówimy o geometrycznej lokalizacji punktów poza okręgiem o promieniu (wyśrodkowany na początku).

c) punkty znajdują się w pierścieniu między okręgami o promieniu i .

Przykład 9. Określ locus punktów na złożonej płaszczyźnie, dla których a) ; b) ; c) .

Decyzja . a) moduł różnicowy Czy odległość między punktem płaszczyzna złożona i punkt 1. Tak więc mówimy o geometrycznej lokalizacji punktów równoodległych (w odległości 1) od punktu 1, jest to okrąg o promieniu 1 wyśrodkowany w punkcie (1; 0). W języku współrzędnych:

.

b) Punkty są jednocześnie w kole wyśrodkowany na początku i w okręgu wyśrodkowany : .

c) Są to punkty prawej półpłaszczyzny leżące wewnątrz koła : .

:

Metoda trygonometryczna liczby zespolonej. Złożony argument kąt połączenia który tworzy wektor z dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej, . Ten kąt jest określany niejednoznacznie:

.

Tutaj - główną wartość argumentu, podkreślają go nierówności (tj. cięcie wykonuje się na złożonej płaszczyźnie wzdłuż rzeczywistej osi na lewo od początku).

W pierwszej kolumnie określone dla numeru leżące na osi rzeczywistej lub urojonej, aw drugiej kolumnie - dla wszystkich innych liczb zespolonych.

Oznacz to . Więc jak , , wtedy liczba zespolona może być reprezentowana w formie trygonometrycznej :

.

Dwie liczby zespolone i podana w formie trygonometrycznej

, ,

ze względu na niejednoznaczność argumentu są równe wtedy i tylko wtedy , .

Przykład 10. Znajdź moduły i argumenty, a także główne wartości argumentów liczb zespolonych . Napisz każdą z nich w formie trygonometrycznej.

Decyzja . Moduły wszystkich tych liczb są takie same:

.

Argument każdej liczby znajduje się, biorąc pod uwagę kwartał, w którym znajduje się odpowiedni punkt.

1) Punkt leży w pierwszym kwartale

.

W formie trygonometrycznej liczone tutaj - częstotliwość cosinusów i sinusów.

2) Punkt leży w drugim kwartale

,

.

3) Punkt leży w trzecim kwartale

,

.

.

4) Punkt leży w czwartym kwartale

,

.

.

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w formie trygonometrycznej. Niech liczby i są podane w formie trygonometrycznej: , . Pomnóż je:

.

Przywołując formuły dla cosinusa i sinusa sumy dwóch kątów, otrzymujemy

. (1)

Widzimy, że podczas mnożenia liczb zespolonych ich moduły są mnożone, a argumenty są dodawane. Geometryczne znaczenie tej operacji: reprezentowanie liczb i wektory na złożonej płaszczyźnie pochodzącej od punktu zerowego, widzimy wektor uzyskane z wektora "Rozciąganie" w raz i kąt obrotu .

Prywatnie otrzymujemy formułę:

. (2)

Przykład 11. Znajdź produkt i iloraz liczb

i .

Decyzja . Zgodnie ze wzorem (1) piszemy:

.

Sprawdź wynik, mnożąc te liczby w postaci algebraicznej:

.

Za pomocą wzoru (2) znajdujemy

.

W postaci algebraicznej, ta operacja zostanie zapisana jako:

.

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi. Z formuły (1) wynika, że ​​potęgowanie liczba zespolona wyprodukowany przez regułę

. (3)

Przykład 12. Oblicz 1) ; 2) .

Decyzja . 1) Powyżej mamy zapis liczby zespolonej w formie trygonometrycznej: . Według wzoru (3) znajdujemy . Ten sam wynik uzyskano powyżej w przykładzie 4c) przy użyciu dwumianu Newtona.

2) Po pierwsze, oznaczmy liczbę w formie trygonometrycznej.

, ,

punkt leży w czwartym kwartale . Dlatego

.

Pozostaje użyć wzoru (3):

.

Ujawniając sześcian różnicowy, otrzymujemy ten sam wynik (sprawdź!).

Na formuła (3) zamienia się w wzór Moivre'a :

. (4)

Za jego pomocą można łatwo uzyskać relacje wyrażające sinusy i cosinusy o różnych kątach i .

Przykład 13. Express i przez i .

Decyzja . Wprowadzenie do wzoru Moivre'a , otrzymujemy:

.

Po lewej stronie otwórz kostkę sumy i zbieraj podobne elementy:

.

Tutaj bierze się pod uwagę, że . Doszliśmy do równości dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej.

,

która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy rzeczywiste i urojone części tych liczb są równe.

Równość części daje ;

zrównując urojonalne części, otrzymujemy .

Wyodrębnianie root'a z liczby zespolonej. Jeśli liczba zespolona i powiązane przez następnie . Wyobraź sobie liczby i w formie trygonometrycznej:

, .

Przyjmiemy to tutaj - główna wartość argumentów .

Nasze zadanie dotyczy określonej liczby (tj. przez znane i ) Zdefiniuj (tj. i ). Zgodnie z równaniem formuły (3) napisany w

.

Z równości dwóch liczb zespolonych w formie trygonometrycznej wynika:

.

Tutaj - root -th moc rzeczywistej liczby nieujemnej. Tak więc dla root -th moc złożonej liczby zdobądź formułę

. (5)

Zakładając konsekwentnie dostać różne znaczenia :

,

,

.

Wszystkie te korzenie mają te same moduły. tj. odpowiednie punkty znajdują się na okręgu o promieniu wyśrodkowany u źródła. Argumenty dwóch sąsiednich korzeni różnią się pod kątem . Tak więc wszystkie wartości root -th moc złożonej liczby są na górze po prawej stronie - wpisane w okrąg o promieniu .

Przykład 14. Znajdź wszystkie wartości root -th moc złożonej liczby i narysuj je na złożonej płaszczyźnie, jeśli

1) , 2) 3) 4) .

Decyzja . 1) Przede wszystkim znajdujemy moduł i argument liczby zespolonej : . Wzór (5) dla weź formę

,

skąd ,

,

.

Punkty znajdują się na wierzchołkach regularnego trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu jednostkowym, jeden korzeń jest jest prawdziwą liczbą. Argumenty dwóch sąsiednich punktów różnią się pod kątem . Zauważ, że .

2) tutaj : właśnie dlatego

,

skąd ,

,

.

Punkty znajdują się na wierzchołkach zwykłego trójkąta wpisanego w okrąg root jest prawdziwą liczbą. Zauważ, że . Porównaj z wynikiem z Pr.12.2, gdzie otrzymałeś tj. .

3) tutaj : i w

,

skąd ,

.

4) tutaj i w

, skąd otrzymujemy dwie liczby:

, .

Pamiętaj: .

Zadanie 3. Wykonaj zadania pr.14, jeśli 1) , 2) .

Przykład 15. Dekomponowanie liniowego potrójnego terminu na czynniki liniowe.

1) ; 2) .

Decyzja . 1) Rozważ równanie kwadratowe . Jego dyskryminator . Oznacza to, że nie ma prawdziwych korzeni. Z punktu 14.4 wynika to . Zgodnie ze wzorem na korzenie równania kwadratowego . Otrzymano dwa zespolone korzenie sprzężone i . Zgodnie z odnalezionymi korzeniami możemy rozłożyć kwadratowy trinomial na czynniki liniowe:

.

2) Rozważ równanie kwadratowe . Jego dyskryminator nie ma prawdziwych korzeni. Z punktu 14.4 wynika to . Zgodnie ze wzorem na korzenie równania kwadratowego . Otrzymano dwa zespolone korzenie sprzężone i . Zgodnie z odnalezionymi korzeniami rozkładamy trinomial kwadratowy na czynniki liniowe:

.

Zwracamy uwagę na to, że równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych ma parę złożonych korzeni sprzężonych .

Zadanie 4. Upewnij się, że rozwinięcia współczynnika liniowego są prawdziwe.

; ; .

Wykładnicza forma liczby zespolonej. Wzór Eulera (do udowodnienia później) :

(6)

pozwala na wpisanie liczby zespolonej w formie indykatywnej :

gdzie .

Od wzoru Eulera i od - częstotliwość sinusoidy i cosinusu powinna wynosić:

.

Tak więc tj. .

Przykład 16. Liczby pisać w formie wykładniczej.

Decyzja . W przykładzie 10 znaleziono ,

, , ,

, , , . ?

Łatwo jest sprawdzić ważność relacji:

Porównaj te zależności z zasadami mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi liczb zespolonych w formie trygonometrycznej.

Przykład 17. Porównaj liczby zespolone. i .

Decyzja. Od wersji pr.16: . Mieć numery i moduły są równe. Podświetlanie w liczbie wiele terminów wyobraź sobie w postaci jako mnożnik . Tak więc .